Estamos listos para calcular volumenes de solidos de revolución

Alguna vez has pensado que se forma cuando hacemos girar la gráfica de una región plana alrededor de cualquier eje?

Por ejemplo: Cual es la figura que se forma al hacer rotar la región R acotada por las gráficas de y=x^2, x=1, y=0; alrededor del eje x?

Primero que todo grafiquemos la región R. Es bueno familiarizarse con programas matemáticos como el MATLAB o el MATHCAD, que nos ayudan a graficar muy fácilmente.

Entonces al hacer girar esta región alrededor del eje x, se forma un sólido de revolución como el que se presenta en la siguiente figura.

Ahora encontremos el volumen de este sólido generado. Existen varios métodos para encontar el volumen de los sólidos de revolución.

• Método de discos



• Método de arandelas



• Método de cortezas cilindricas.

Emplearemos el método de los discos para solucionar este problema.

La integración se realizara respecto a x entonces:

Encuentra el area de la region S

Encontremos el area de la region que se encuentra acotada por las graficas de y=x+5, y^2=x, y=2, y=-1.

El exito para resolver este tipo de problemas es realizar adecuadamente la grafica de la region y determinar si la integracion se realizara con respecto a X o Y. Luego es muy importante definir los limites de integracion.

Observemos detenidamente la grafica de la region y como lo mas adecuado es integrar con respecto al eje Y. En la imagen que se realizo en MATLAB 7.6, se pueden observar los rectangulosde aproximacion que se emplearan para realizar la integración.

Ahora animate a solucion el siguiente problema:

Encuentra el area de la region acotada por y=x^2+3, y=x, x=1, x=-1.

Ahora asombremonos con las APLICACIONES DE LA INTEGRAL

En estas fotografias se ilustran tres usos de las integrales: Calcular la fuerza ejercida por el agua sobre la cortina de una represa, decidir en donde sentarse en una sala de cine y hallar donde un objeto plano se equilibra horizontalmente.

Ahora investigaremos algunas de las aplicaciones de la integral definida usandola para calcular areas entre curvas, volumenes de solidos de revolción y longitudes de curvas.

El tema comun en la mayor parte de estas parte de estas aplicaciones es el metodo general siguiente, el cual es similar al que usamos para hallar areas debajo de curvas. Dividimos una cantidad Q en un gran numero de partes pequeñas. A continuacion obtenemos una aproximación de cada pequeña parte de la forma f(xi)delta de x y de este modo, tenemos una aproximacion de Q mediante una suma de Riemman. En seguida, tomamos el limite y expresamos Q como una integral. Por ultimo evaluamos la integral aplicando el teorema fundamental del calculo.

Ahora resuelve este problema relacionado con la presion hidrostatica planteando la integral correspondiente:

La cortina de una represa tiene la forma del trapecio. La altura es de 20 m, el ancho de 50 m en la parte superior y 30 m en el fondo. Encuentre la fuerza sobre la coritna debida a la presion hidrostatica, si el nivel del agua esta a 4 m de la parte superior de la cortina.

Newton y Leibniz y la invención del calculo

A veces leemos que los inventores del calculo fueron sir Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Pero sabes que las ideas básicas detrás de la integración fueron investigadas hace 2500 años por los antiguos griegos, como Eudoxo y Arquímedes, y que Pierre Fermat (1601-1665), Isaac Borrow (1630-1677) y otros fueron los pioneros para hallar tangentes. Borrow, el profesor de Newton en Cambridge, fuel el primero en comprender la relación inversa entre la derivación y la integración. Lo que Newton y Leibniz hicieron fue usar esta relación, en la forma del teorema fundamental del calculo, para convertir este ultimo en una disciplina matemática sistemática. En este sentido es que se da a Newton y Leibniz el crédito por la invención del cálculo.

Lee sobre Newton y Leibniz y descubre cual fue el papel que desempeño cada uno de ellos en el desarrollo del calculo.

En las siguientes direcciones podras encontrar toda la historia y los aportes hechos por Newton a la ciencia:

Animate y visita:

http://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton, http://www.biografiasyvidas.com/biografia/n/newton.htm,

http://www.gap-system.org/~history/Biographies/Newton.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz

http://www.astrocosmo.cl/biografi/b-g_leibniz.htm

Contesta las siguientes preguntas y realiza un ensayo sobre la controversia entre los seguidores de Newton y Leibniz sobre la prioridad en la invencion del calculo.

1. Cual era la nacionalidad de Newton?

2. En que campos de la ciencia realizo sus aportes Newton?

3. Es cierto que Newton y Leibniz descubrieron el calculo en la misma epoca de forma independiente?

4. Cual es el principal problema matematico que pretenden solucionar Newton y Leibniz?

5. Cual es la conexion directa entre el calculo diferencial y el calculo integral?

6. Enuncia el Teorema fundamental del calculo y busca un ejemplo practico.

APRENDAMOS CALCULO INTEGRAL

Usar la razon a la cual se fuga el aceite de un tanque para hallar la cantidad que se haya fugado durante cierto periodo, utilizar las lecturas de velocidad del transbordador espacial Endeavour para calcular la altura que ha alcanzado en un tiempo dado, emplear el conocimiento del consumo de potencia para hallar la energia usada en un dia soleado en San Francisco. Todos estos problemas se solucionan empleando el insuperable poder del CALCULO INTEGRAL!!!