Estamos listos para calcular volumenes de solidos de revolución

Alguna vez has pensado que se forma cuando hacemos girar la gráfica de una región plana alrededor de cualquier eje?

Por ejemplo: Cual es la figura que se forma al hacer rotar la región R acotada por las gráficas de y=x^2, x=1, y=0; alrededor del eje x?

Primero que todo grafiquemos la región R. Es bueno familiarizarse con programas matemáticos como el MATLAB o el MATHCAD, que nos ayudan a graficar muy fácilmente.

Entonces al hacer girar esta región alrededor del eje x, se forma un sólido de revolución como el que se presenta en la siguiente figura.

Ahora encontremos el volumen de este sólido generado. Existen varios métodos para encontar el volumen de los sólidos de revolución.

• Método de discos



• Método de arandelas



• Método de cortezas cilindricas.

Emplearemos el método de los discos para solucionar este problema.

La integración se realizara respecto a x entonces:

Encuentra el area de la region S

Encontremos el area de la region que se encuentra acotada por las graficas de y=x+5, y^2=x, y=2, y=-1.

El exito para resolver este tipo de problemas es realizar adecuadamente la grafica de la region y determinar si la integracion se realizara con respecto a X o Y. Luego es muy importante definir los limites de integracion.

Observemos detenidamente la grafica de la region y como lo mas adecuado es integrar con respecto al eje Y. En la imagen que se realizo en MATLAB 7.6, se pueden observar los rectangulosde aproximacion que se emplearan para realizar la integración.

Ahora animate a solucion el siguiente problema:

Encuentra el area de la region acotada por y=x^2+3, y=x, x=1, x=-1.